二次方程求解器

二次方程求解器/计算器。

输入二次方程系数 a、b、c 并按下 计算 按钮:

  输入a   输入 b   输入 c  
二次方程: x 2 + x + = 0
 
鉴别式: Δ =
二次公式: x 1,2 =
第一个根: x 1   =
第二个根: x 2 =
Δ 

什么是二次方程?

二次方程是 f(x) = ax 2 + bx + c类型变量的 2 次多项式方程,其中 a, b, c, ∈ R 和 a ≠ 0。它是二次方程的一般形式,其中 ' a'称为前导系数,'c'称为f(x)的绝对项。满足二次方程的x的值是二次方程(α,β)的根。

二次方程总是有两个根。根的性质可以是实数,也可以是虚数。

目录

二次多项式在等于零时变为二次方程。满足方程的 x 的值称为二次方程的根。

一般来自: ax 2 + bx + c = 0

示例: 3x 2 + x + 5 = 0,-x 2 + 7x + 5 = 0,x 2 + x = 0。

二次方程公式

二次方程的解或根由二次公式给出:

(α, β) = [-b ± √(b 2 – 4ac)]/2ac

求解二次方程的公式

1.二次方程的根:x = (-b ± √D)/2a,其中 D = b 2 – 4ac

2.根的性质:

  • D > 0,根是实数且不同的(不相等)
  • D = 0,根是实数且相等(重合)
  • D < 0,根是虚数且不等的

3.根 (α + iβ), (α – iβ) 是彼此的共轭对。

4.根的和与积:如果α和β是一个二次方程的根,那么

  • S = α+β= -b/a = x 的系数/x 2 的系数
  • P = αβ = c/a = x 2 的常数项/系数

5.根形式的二次方程:x 2 – (α+β)x + (αβ) = 0

6.二次方程 a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = 0 和 a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = 0 有;

  • 一个共同的根 if (b 1 c 2 – b 2 c 1 )/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = (c 1 a 2 – c 2 a 1 )/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
  • 如果 a 1 /a 2 = b 1 /b 2  = c 1 /c 2两个根共同

7.在二次方程中 ax  + bx + c = 0 或 [(x + b/2a) 2 – D/4a 2 ]

  • 如果 a > 0,最小值 = 4ac – b 2 /4a 在 x = -b/2a。
  • 如果 a < 0,最大值 4ac – b 2 /4a 在 x= -b/2a。

8.若α、β、γ为三次方程ax 3 + bx 2 + cx + d = 0的根,则α + β + γ = -b/a,αβ + βγ + λα = c/a,αβγ = -d/a

9.如果方程满足两个以上的数,即具有两个以上的实数或复数的根或解,则二次方程变为恒等式 (a, b, c = 0)。

二次方程的根

满足给定二次方程的变量的值称为它的根。换句话说,如果 f(α) = 0,x = α 是二次方程 f(x) 的根。

方程 f(x) = 0 的实根是曲线 y = f(x) 与 x 轴相交的点的 x 坐标。

  • 如果 c = 0,二次方程的根之一是零,另一个是 -b/a
  • 如果 b = c = 0,则两个根都为零
  • 如果 a = c,根互为倒数

什么是判别式?

二次方程中的项 (b 2 – 4ac) 称为二次方程的判别式二次方程的判别式揭示了性质

二次方程根的性质

如果判别式的值 = 0 即 b 2  – 4ac = 0 二次方程将具有相等的根,即 α = β = -b/2a
如果判别式的值 < 0 即 b 2  – 4ac < 0 二次方程将有虚根,即 α = (p + iq) 和 β = (p – iq)。其中“iq”是复数的虚部
如果判别式 (D) > 0 即 b 2  – 4ac > 0 二次方程将有实根
如果判别式的值 > 0 并且 D 是完全平方 二次方程将有有理根
如果判别式 (D) > 0 且 D 不是完全平方 二次方程将有无理根,即 α = (p + √q) 和 β=(p – √q)
如果判别式的值 > 0,则 D 是完全平方,a = 1 且 b 和 c 是整数 二次方程将有整数根

如何确定二次方程的根的性质?

示例 1:求二次表达式 (x – a) (x – 10) + 1 = 0 具有整数根的 k 值。

解决方案:

给定的方程可以重写为,x 2  – (10 + k)x + 1 + 10k = 0。

D = b 2  – 4ac = 100 + k 2 + 20k – 40k = k 2  – 20k + 96 = (k – 10) 2  – 4

二次方程将有整数根,如果判别式的值 > 0,则 D 是完全平方,a = 1 并且 b 和 c 是整数。

即 (k – 10) 2  – D = 4

因为判别式是一个完美的平方。因此,只有当 D = 0 和 (k – 10) 2 = 4时,RHS 中两个完全平方的差才为 4。

⇒ k – 10 = ± 2。因此,k = 8 和 12。

示例 2:求 k 的值,使得方程 p/(x + r) + q/(x – r) = k/2x 有两个相等的根。

解决方案:

给定的二次方程可以改写为:

[2p + 2q – k]x 2 – 2r[p – q]x + r 2 k = 0

对于等根,判别式 (D) = 0,即 b 2  – 4ac = 0

这里,a = [ 2p + 2q – k ],b = – 2r [ p – q ] 和 c = r 2 k

[-2r (p – q)] 2 – 4[(2p + 2q – k) (r 2 k)] = 0

2 (p – q) 2  – r 2 k(2p + 2q – k) = 0

由于 r ≠ 0,因此,(p – q) 2  – k(2p + 2q – k) = 0

2  – 2(p + q)k + (p – q) 2

k = 2(p+q) ± √[4(p + q) 2  – 4(p – q)] 2 /2 = -(p + q) ± √4pq

∴ k = (p + q) ± 2√pq = (√p ± √q) 2

例 3:求一个根为 1/(2 + √5) 时有理系数的二次方程。

解决方案:

如果系数是有理的,那么无理根出现在共轭对中因此,如果一个根是 α = 1/(2 + √5) = √5 – 2,那么另一个根将是 β = 1/(2 – √5) = -√5 – 2。

根 α + β = -4 和根 α β = -1 的积。

因此,所需的方程是 x 2 + 4x – 1 = 0。

示例 4:当其根之一为 (3 – 2i) 时,形成具有实系数的二次方程。

解决方案:

由于复根总是成对出现,所以另一个根是 3 + 2i。因此,通过求根的和和乘积,我们可以形成所需的二次方程。